선형 대수 예제

${[\begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 & - 4 \end{array}]}^{3}$

단계 1

To evaluate a square matrix to a positive integer power $n$ , multiply $n$ copies of the matrix.

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 & - 4 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 & - 4 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 & - 4 \end{array}]$

단계 2

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 & - 4 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 & - 4 \end{array}]$ 을 곱합니다.

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단계 2.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $2 \times 2$ and the second matrix is $2 \times 2$ .

단계 2.2

첫 번째 행렬의 각 행에 두 번째 행렬의 각 열을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 \cdot 1 - 2 \cdot 3 & 1 \cdot - 2 - 2 \cdot - 4 \\ 3 \cdot 1 - 4 \cdot 3 & 3 \cdot - 2 - 4 \cdot - 4 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 & - 4 \end{array}]$

단계 2.3

모든 식을 전개하여 행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} - 5 & 6 \\ - 9 & 10 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 & - 4 \end{array}]$

단계 3

$[\begin{array}{c} - 5 & 6 \\ - 9 & 10 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 & - 4 \end{array}]$ 을 곱합니다.

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단계 3.1

단계 3.2

첫 번째 행렬의 각 행에 두 번째 행렬의 각 열을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} - 5 \cdot 1 + 6 \cdot 3 & - 5 \cdot - 2 + 6 \cdot - 4 \\ - 9 \cdot 1 + 10 \cdot 3 & - 9 \cdot - 2 + 10 \cdot - 4 \end{array}]$

단계 3.3

모든 식을 전개하여 행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 13 & - 14 \\ 21 & - 22 \end{array}]$

단계 4

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

단계 5

Find the determinant.

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단계 5.1

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

$13 \cdot - 22 - 21 \cdot - 14$

단계 5.2

행렬식을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1.1

$13$ 에 $- 22$ 을 곱합니다.

$- 286 - 21 \cdot - 14$

단계 5.2.1.2

$- 21$ 에 $- 14$ 을 곱합니다.

$- 286 + 294$

단계 5.2.2

$- 286$ 를 $294$ 에 더합니다.

$8$

단계 6

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

단계 7

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{8} [\begin{array}{c} - 22 & 14 \\ - 21 & 13 \end{array}]$

단계 8

행렬의 각 원소에 $\frac{1}{8}$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{8} \cdot - 22 & \frac{1}{8} \cdot 14 \\ \frac{1}{8} \cdot - 21 & \frac{1}{8} \cdot 13 \end{array}]$

단계 9

행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

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단계 9.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 9.1.1

$8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 (4)} \cdot - 22 & \frac{1}{8} \cdot 14 \\ \frac{1}{8} \cdot - 21 & \frac{1}{8} \cdot 13 \end{array}]$

단계 9.1.2

$- 22$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 \cdot 4} \cdot (2 \cdot - 11) & \frac{1}{8} \cdot 14 \\ \frac{1}{8} \cdot - 21 & \frac{1}{8} \cdot 13 \end{array}]$

단계 9.1.3

공약수로 약분합니다.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 \cdot 4} \cdot (2 \cdot - 11) & \frac{1}{8} \cdot 14 \\ \frac{1}{8} \cdot - 21 & \frac{1}{8} \cdot 13 \end{array}]$

단계 9.1.4

수식을 다시 씁니다.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} \cdot - 11 & \frac{1}{8} \cdot 14 \\ \frac{1}{8} \cdot - 21 & \frac{1}{8} \cdot 13 \end{array}]$

단계 9.2

$\frac{1}{4}$ 와 $- 11$ 을 묶습니다.

$[\begin{array}{c} \frac{- 11}{4} & \frac{1}{8} \cdot 14 \\ \frac{1}{8} \cdot - 21 & \frac{1}{8} \cdot 13 \end{array}]$

단계 9.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$[\begin{array}{c} - \frac{11}{4} & \frac{1}{8} \cdot 14 \\ \frac{1}{8} \cdot - 21 & \frac{1}{8} \cdot 13 \end{array}]$

단계 9.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.4.1

$8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$[\begin{array}{c} - \frac{11}{4} & \frac{1}{2 (4)} \cdot 14 \\ \frac{1}{8} \cdot - 21 & \frac{1}{8} \cdot 13 \end{array}]$

단계 9.4.2

$14$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$[\begin{array}{c} - \frac{11}{4} & \frac{1}{2 \cdot 4} \cdot (2 \cdot 7) \\ \frac{1}{8} \cdot - 21 & \frac{1}{8} \cdot 13 \end{array}]$

단계 9.4.3

공약수로 약분합니다.

$[\begin{array}{c} - \frac{11}{4} & \frac{1}{2 \cdot 4} \cdot (2 \cdot 7) \\ \frac{1}{8} \cdot - 21 & \frac{1}{8} \cdot 13 \end{array}]$

단계 9.4.4

수식을 다시 씁니다.

$[\begin{array}{c} - \frac{11}{4} & \frac{1}{4} \cdot 7 \\ \frac{1}{8} \cdot - 21 & \frac{1}{8} \cdot 13 \end{array}]$

단계 9.5

$\frac{1}{4}$ 와 $7$ 을 묶습니다.

$[\begin{array}{c} - \frac{11}{4} & \frac{7}{4} \\ \frac{1}{8} \cdot - 21 & \frac{1}{8} \cdot 13 \end{array}]$

단계 9.6

$\frac{1}{8}$ 와 $- 21$ 을 묶습니다.

$[\begin{array}{c} - \frac{11}{4} & \frac{7}{4} \\ \frac{- 21}{8} & \frac{1}{8} \cdot 13 \end{array}]$

단계 9.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$[\begin{array}{c} - \frac{11}{4} & \frac{7}{4} \\ - \frac{21}{8} & \frac{1}{8} \cdot 13 \end{array}]$

단계 9.8

$\frac{1}{8}$ 와 $13$ 을 묶습니다.

$[\begin{array}{c} - \frac{11}{4} & \frac{7}{4} \\ - \frac{21}{8} & \frac{13}{8} \end{array}]$